Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer

Open Menu

Educational Dimension

Early Access

About the Journal

Editorial Team

Submissions

Announcements

Current

Archives

About

Publication Ethics and Publication Malpractice Statement

Peer-review Process

Article Withdrawal

Privacy Statement

Copyright Statement

Contact

Search

Register

Login

Return to Article Details

Tasks with parameters: a digitized approach

Home

/

Archives

/

Vol. 11 (2024)

/

Articles

Yurii H. Horoshko1[0000-0001-9290-7563],
Tetiana V. Pidhorna2[0000-0002-1414-3489],
Petro F. Samusenko3[0000-0002-4241-6173],

Hanna Y. Tsybko1[0000-0002-1861-3003],
and Ihor A. Tverdokhlib4,5[0000-0001-6301-0159]

1
T. H. Shevchenko National University “Chernihiv Colehium”,

53 Hetman Polubotka Str., Chernihiv, 14013, Ukraine

[email-masked], [email-masked]

2
State University of Trade and Economics, 19 Kyoto Str., Kyiv, 02156, Ukraine

[email-masked]

3
National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic
Institute”, 37 Beresteiskyi Ave., Kyiv, 03056, Ukraine

[email-masked]

4
Dragomanov Ukrainian State University, 9 Pyrohova Str., Kyiv, 01601, Ukraine

5
Institute of Pedagogy of the NAES of Ukraine, 52-D Sichovyh Striltsiv Str., Kyiv,
04053, Ukraine

[email-masked]

Abstract. Technological and methodological aspects
of using freeware software, such as GeoGebra, Wolfram|Alpha, Maxima,
SageMath and GRAN1, for solving tasks with parameters, are presented in the
article. Criteria were defined for selection of computer mathematics system
(CMS) to solve tasks with parameters, including plotting a graph of a
function given in explicit and implicit forms, using a parameter in a
function’s analytical definition, and automatically changing the graph of
a function depending on the parameter value; ability to changing
the parameter step change; plotting of a tangent and a normal to a
curve at a point; ability to change the scale; determination of the
coordinates of the intersection of graphs of functions; obtaining an
analytical solution. In the article, some examples were presented for
graphic and analytical tasks that used CMS parameters. GRAN1 and
GeoGebra are recommended to use for plotting and analyzing of the
graphs6 .

Keywords: Computer Mathematics System · tasks with parameters ·
Wolfram∣Alpha · Maxima · SageMath · GeoGebra · GRAN

1 Вступ

1.1 Постановка проблеми

Моделювання рiзноманiтних процесiв i явищ є одним з основних загальних
методiв, що використовується в наукових дослiдженнях. Навчання розв’язування
задач з параметрами в процесi навчання математики, є одним з пiдготовчих
етапiв до математичного моделювання, де вiдбувається дослiдження моделей
за рiзних умов, зокрема за рiзних значень параметрiв математичних
моделей.

Впродовж десятилiть розв’язування задач з параметрами зазвичай мiстилось
в програмi вступних випробувань до закладiв вищої освiти України, наразi це
вмiння вимагається для успiшного складання зовнiшнього незалежного
оцiнювання з математики, яке проводиться в Українi вже понад 10 рокiв. Як
свiдчить практика i результати педагогiчних дослiджень розв’язування задач з
параметрами викликає у учнiв багато труднощiв, бiльше 85% абiтурiєнтiв на
зовнiшньому незалежному оцiнюваннi з математики навiть не роблять спроб
розв’язати такi задачi [5].

Зрозумiло, що успiшне розв’язування студентами задач iз параметрами
пов’язане насамперед iз вiдповiдною професiйною квалiфiкацiєю їхнiх
викладачiв, яка переважно набувається пiд час навчання у ЗВО. Загалом iснує
двi групи методiв розв’язування задач з параметрами – аналiтичнi та графiчнi
методи. Аналiтичнi методи ґрунтуються на властивостях функцiй дiйсної змiнної
(перiодичнiсть, парнiсть, монотоннiсть, опуклiсть тощо), якi детально
вивчаються в курсi математичного аналiзу для студентiв вiдповiдних
спецiальностей бакалаврату. Застосування графiчних методiв традицiйно
обмежується можливiстю побудови графiкiв елементарних функцiй i способами
їх перетворення. Ситуацiя докорiнно змiнилася з розвитком комп’ютерних
технологiй i появою систем комп’ютерної математики (СКМ). При цьому
не лише суттєво спростився процес побудови графiкiв функцiй, але й
з’явилася можливiсть графiчного представлення складених функцiй,
аналiтичний вираз яких досить громiздкий. Це призвело до органiчного
поєднання аналiтичних i графiчних методiв при розв’язуваннi задач з
параметрами, що висуває додатковi вимоги до пiдготовки студентiв – майбутнiх
учителiв математики. Їх пiдготовка повинна грунтуватися на поєднаннi
теоретичного матерiалу класичної теорiї диференцiального числення функцiй

дiйсної змiнної та практичних засобiв побудови функцiй за допомогою
СКМ.

1.2 Аналiз праць з тематики дослiджень

Методицi навчання розв’язування задач з параметрами присвячена значна
кiлькiсть публiкацiй [8, 10, 19, 21, 25]. З розвитком комп’ютерної технiки i
вiдповiдного програмного забезпечення розширилось коло таких задач, засоби i
методи навчання їх розв’язування. Серед найбiльш вiдомих вiльнопоширюваних
прикладних програмних засобiв навчального характеру, з використанням
яких можна рацiонально розв’язувати задачi з параметрами, можна
виокремити GeoGebra, Wolfram∣Alpha, Maxima, SageMath та GRAN
[3, 6, 7, 9, 11, 13, 15–18, 20, 22, 24, 26].

Тематика публiкацiй дослiдження використання програмних засобiв
для аналiзу зазначених задач охоплює рiзнi аспекти методики навчання
розв’язування задач з параметрами: вивчення форм графiкiв функцiй за рiзних
значень параметра [6, 15]; використання комп’ютера для iлюстрацiї аналiтичних
розв’язкiв [7, 20]; методика органiзацiї дослiдницької дiяльностi учнiв i студентiв
в процесi попереднього графiчного аналiзу розв’язкiв задач з подальшим
аналiтичним розв’язуванням [11, 17, 18, 21, 24]; отримання розв’язкiв
задач на основi детального графiчного аналiзу [20, 26]. Як правило,
в цитованих працях розглядаються приклади задач, в яких розв’язки
можна отримати аналiтичним шляхом, що є винятковим випадком на
практицi.

Незважаючи на те, що данiй тематицi присвячено велику кiлькiсть
дослiджень в галузi методики навчання математики, зокрема i з використанням
сучасних комп’ютерно-орiєнтованих технологiй, її важливiсть не викликає
сумнiвiв, оскiльки кiлькiсть зазначених задач та їх типiв постiйно збiльшується.
Крiм того, розширюється функцiонал СКМ, що призводить до появи нових
шляхiв отримання розв’язкiв таких задач. Зрозумiло, що для практичного
використання важливо знати не стiльки точне значення розв’язку задачi, яка
описує математичну модель реального процесу чи явища, скiльки те, чи сумiсна
та стiйка задача. Тодi, використовуючи сучаснi програмнi засоби можна знайти
наближене значення певного розв’язку задачi з наперед заданою точнiстю, що
цiлком достатньо для практики.

У данiй працi розглядаються деякi аспекти застосування аналiтичного та
графiчного методiв розв’язування задач з параметрами за допомогою СКМ.
Окремi результати цього дослiдження були висвiтленi на 2nd Myroslav I.
Zhaldak Symposium on Advances in Educational Technology (AET 2021)
[13].

1.3 Мета дослiдження

Метою даної працi є розробка критерiїв вибору програмного забезпечення, яке
доцiльного використовувати в процесi розв’язування задач з параметрами.

У роботi наведено приклади розв’язування таких задач як аналiтичним, так i
графiчним методами.

Значна увага придiляється задачам, якi принципово неможливо розв’язати
аналiтичним методом. При цьому побудова досить складних графiкiв
функцiй для рiзних значень параметрiв iз застосуванням вiдповiдного
програмного забезпечення дозволяє уникнути помилок при побудовi таких
графiкiв, зосередити увагу на аналiзi їх форми та знайти розв’язок задачi.
Розгляд завдань, якi можна розв’язати лише наближено за допомогою
графiчного методу, розширює уявлення учнiв про те, що в процесi опису
математичних моделей рiзноманiтних об’єктiв i явищ використовуються i такi
розв’язки.

2 Матерiали i методи дослiдження

2.1 Системи комп’ютерної математики

На сьогоднi для розв’язання рiзноманiтних як теоретичних, так i практичних
задач все бiльше використовується веб-орiєнтоване програмне забезпечення,
зокрема i СКМ. Як вже зазначалося, програмнi засоби GeoGebra, Wolfram∣Alpha,
Maxima, SageMath, GRAN тощо є одними з найпопулярнiших вiльно
поширюваних систем комп’ютерної математики.

WolframAlpha – це база знань з рiзних наукових напрямiв, зокрема i
математичних. В її основi рiзноманiтнi алгоритми i технологiї штучного iнтелекту.
Доступ до веб-орiєнтованої версiї за посиланням https://www.wolframalpha.com/.

Система Wolfram∣Alpha була розроблена Стiвеном Вольфрамом у 2009 роцi.
Як зазначається на сайтi Wolfram∣Alpha, реалiзацiя такого проекту стала
можливою завдяки потужностi сучасних комп’ютерiв, обмiну даними через
Iнтернет, а також досвiдом Стiвена Вольфрама в управлiннi розробкою
програмного забезпечення понад 30 рокiв. За допомогою цiєї програми,
заснованої на швидких обчисленнях, основою яких є достатньо велика колекцiя
вбудованих даних, алгоритмiв i методiв, можна отримати вiдомостi з рiзних
галузей науки – математики, фiзики, iсторiї тощо. Wolfram∣Alpha реалiзовано на
мовi Wolfram на базi пакету Mathematica. Wolfram∣Alpha є безкоштовним
ресурсом, але з 2012 року можна отримати доступ до додаткових системних
сервiсiв, таких як покрокове виконання завдань, за щомiсячну плату
[14, 23].

SageMath – це безкоштовна математична система з вiдкритим вихiдним
кодом, лiцензована пiд GPL. Доступ до веб-орiєнтованої версiї за посиланням
https://www.sagemath.org/.

За допомогою цiєї системи комп’ютерної алгебри можна розв’язувати задачi з
рiзних областей математики, зокрема алгебри, комбiнаторики, обчислювальної
математики, математичного аналiзу тощо. Перша версiя SageMath була
випущена 24 лютого 2005 року як безкоштовне програмне забезпечення пiд
лiцензiєю GNU GPL. Початковою метою проекту було «створити альтернативу
системам Magma, Maple, Mathematica та MATLAB з вiдкритим кодом».
Розробником SageMath є Вiльям Стайн, математик Вашингтонського
унiверситету [2].

Maxima — це система комп’ютерної алгебри, де для розв’язування задач
використовуються як чисельнi так i аналiтичнi методи. Maxima є нащадком
Macsyma, системи комп’ютерної алгебри, розробленої наприкiнцi 1960-х рокiв у
Массачусетському технологiчному iнститутi, з 1982 по 2001 рiк Maxima
пiдтримувалась Вiльямом Шелтером. У 1998 роцi вихiдний код був випущений
пiд GNU General Public License (GPL). Пiсля смертi Вiльяма Шелтера в 2001
роцi було створено групу користувачiв i розробникiв для пiдтримки i розвитку
проекту Maxima, зокрема, остання оновлена версiя цiєї програми була у травнi
2023 року. Розробники стверджують, що функцiональнiсть i ефективнiсть
використання програми можна порiвняти з комерцiйними системами, такими як
Mathematica та Maple [1].

Однiєю з найпоширенiших систем комп’ютерної математики навчального
призначення на територiї України є програмний комплекс GRAN, про це
свiдчить значна кiлькiсть науково-педагогiчних публiкацiй присвячених рiзним
аспектам органiзацiї i здiйснення освiтнього процесу в сучасних умовах
навчання. Програмний комплекс GRAN було розроблено в Нацiональному
педагогiчному унiверситетi iменi М. П. Драгоманова пiд керiвництвом
М. I. Жалдака. Цей комплекс складається з трьох програм GRAN1,
GRAN-2D, GRAN-3D. Програма GRAN1 призначена для графiчного аналiзу i
розв’язуванню задач, що пов’язанi iз побудовою графiкiв функцiй на декартовiй
площинi заданих явно i неявно, параметрично, таблично, в полярнiй
системi координат; для опрацьовування статистичних даних, побудови
графiкiв функцiй розподiлу ймовiрностей випадкових величин, обчислення
визначених iнтегралiв, довжини кривих, площi криволiнiйних трапецiй, площi
поверхонь та об’ємiв тiл обертання тощо. Першу версiю GRAN1 було
розроблено для персонального комп’ютера Yamaha YIS-805, ще в 1990
роцi А. В. Пеньковим [28]. Пiзнiше GRAN1 удосконалено i адаптовано
до використання пiд операцiйною системою сiмейства Windows Ю. В.
Горошком. У 2019 цей програмний засiб було викладено на вiддаленому
робочому столi, що дозволяє його використовувати через браузер вiддалено
[27], а не лише на локальних комп’ютерах. GRAN-2D призначено для
графiчного аналiзу систем геометричних об’єктiв на площинi, а GRAN-3D
– для графiчного аналiзу систем тривимiрних геометричних об’єктiв.
Першi версiї програм GRAN-2D GRAN-3D були розробленi в 2002 роцi.
Комплекс є вiльно поширюваним i його можна завантажити з сайту
https://zhaldak.fi.npu.edu.ua/.

Однiєю з найпоширенiших систем комп’ютерної математики навчального

призначення є система GeoGebra. Перша версiя GeoGebra розроблена в 2001-2002
рр. Маркусом Хохенвартером [12]. У груднi 2021 року GeoGebra була придбана
конгломератом Byju’s. Цей програмний засiб можна використовувати як
дистанцiйно, так i на локальному комп’ютерi, завантаживши вiдповiднi
модулi програми. Складовою частиною системи GeoGebra є програми для
графiчного аналiзу i розв’язування задач, що пов’язанi iз побудовою графiкiв
функцiй на декартовiй площинi заданих в явному або в неявному виглядi,
полярнiй системi координат, задач з теорiї ймовiрностей, планiметрiї та
стереометрiї. Використовуючи СКМ GeoGebra, можна також створювати
дидактичнi матерiали для рiзних користувачiв, надавати до них доступ
iншим; створювати освiтнє середовище класу для використання його
учнями.

2.2 Приклади задач з параметрами

З’ясуємо, якi функцiї СКМ доцiльно використовувати в процесi розв’язування
задач з параметрами. Для цього розглянемо деякi приклади.

Розв’язати рiвняння

Спробуємо знайти аналiтичний розв’язок заданого рiвняння за допомогою
Wolfram∣Alpha, Maxima та SageMath. Використовуючи Wolfram∣Alpha,
дiстаємо

(1)

якщо a ⁄= 0 (рис. 1).

Рис. 1:

Для a = 0 рiвняння (1) не має розв’язкiв. Специфiка iнтерфейсу Wolfram∣
Alpha полягає в тому, що за замовчуванням не розглядається випадок, коли
множина розв’язкiв рiвняння порожня.

Використовуючи програми Maxima та SageMath, ми отримуємо

(рис. 2), i це, зрозумiло, неповна (неправильна) вiдповiдь.

Рис. 2:

Як вже зазначалось, за допомогою GeoGebra та GRAN1 не можна знайти
аналiтичнi розв’язки рiвняння (1). Однак може бути корисною геометрична
iнтерпретацiя задачi.

Рис. 3:

Так, на рисунку 3, отриманому за допомогою програми GRAN1, зображено
графiк функцiї y = ax для рiзних значень параметра (a = 1, a = 0). У
випадку, коли a = 1, графiки функцiй y = x i y = 1 перетинаються в однiй
точцi, тобто рiвняння (1) має один розв’язок. Якщо a = 0, то графiки
функцiй y = 1 i y = 0 не перетинаються, тобто дане рiвняння не має
розв’язкiв.

Розв’язати рiвняння

(2)

Знайдемо аналiтичний розв’язок заданого рiвняння, використовуючи
Wolfram∣Alpha, Maxima та SageMath. Порiвнюючи результати розв’язання
(рисунок 4, 5), переконуємось, що за допомогою Wolfram∣Alpha можна отримати
правильний розв’язок задачi, а використання SageMath i Maxima приводить
лише до неповного (неправильного) розв’язання задачi.

Рис. 4:

Рис. 5:

Як i ранiше, використовуючи GeoGebra або GRAN1, можна зробити висновок
про кiлькiсть розв’язкiв рiвняння (2). На рисунках 6 i 7 зображено графiки
функцiї y = ax2 + 3x - 5 у випадку, коли a = 0 та a = 1 вiдповiдно.

Рис. 6:

Рис. 7:

Абсциси точок перетину графiкiв цих функцiй з вiссю абсцис є коренями
рiвняння (2), тобто залежно вiд значень параметра a дане рiвняння має один або
два розв’язки.

Розв’язати рiвняння

(3)

Розв’язуючи це рiвняння аналiтично за допомогою Wolfram|Alpha, Maxima та
SageMath, ми отримуємо неповну вiдповiдь. Залежно вiд значень параметра a
знайдено два розв’язки x = 4 i x = -a - 1 (рис. 8).

Рис. 8:

Але незрозумiло, чи сумiсне рiвняння (3), якщо a = -3 або a = 0.
На пiдставi результатiв, отриманих за допомогою Wolfram∣Alpha, не
можна вiдповiсти на питання про множину розв’язкiв даного рiвняння. Ми
приходимо до таких же висновкiв, використовуючи пакети SageMath i Maxima
(рис. 9).

Рис. 9:

Проаналiзуємо задачу, використовуючи СКМ GRAN1. Побудуємо графiки
функцiй

та

для конкретних значень параметра a. Для цього позначимо параметр a через
p1 (назва параметра за замовченням). Змiна значень параметра p1, наприклад,
вiд -5 до 5 з кроком 0.1 (цi значення встановлюються за замовченням)
призводить до вiдповiдної змiни форми графiкiв зазначених функцiй. Розв’язки
рiвняння (3) є абсцисами точок перетину графiкiв функцiй f(x) та g(x).
Оскiльки для значень параметра p1 вiд -4.9 до -3.1, вiд -2.9 до -0.1 та вiд 0.1 до 5
графiки функцiй f(x) та g(x) перетинаються у двох точках, то рiвняння (3) для
таких p1 має два розв’язки (рис. 10).

Рис. 10:

Якщо p1 = -5, то вiзуально графiки функцiй перетинаються в однiй точцi,
що є виключним випадком для рiвняння (3), оскiльки воно, взагалi кажучи,
зводиться до квадратного рiвняння, а тому за певних умов має два дiйснi
розв’язки. Тому доцiльно параметр p1 розглядати, наприклад, вiд -6 до
5.

Таким чином, враховуючи форму графiкiв функцiй f(x) та g(x) для
p1  =  - 5.2, p1 = -5.1, p1 = -4.9 та p1 = -4.8 i зважаючи на те, що навiть при
збiльшеннi масштабу для p1 = -5 не можна отримати чiткої вiдповiдi про
кiлькiсть коренiв рiвняння (3) (рис. 11), приходимо до висновку про необхiднiсть
аналiтичного дослiдження рiвняння (3) коли значення параметра a змiнюється в
околi точки -5.

Рис. 11:

У випадку, коли p1 дорiвнює -3 або 0 графiки функцiй f(x) та g(x)
перетинаються в однiй точцi, тобто рiвняння (3) має єдиний розв’язок (рис. 12,
13).

Рис. 12:

Рис. 13:

Враховуючи неперервнiсть функцiй f(x) та g(x) на вiдповiдних промiжках
можна висловити гiпотезу про iснування двох розв’язкiв рiвняння (3) для
a ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;-3) ∪ (-3;0) ∪ (0;∞) i про iснування одного розв’язку
рiвняння (3) для a = -5, a = -3 та a = 0. Для її пiдтвердження або
спростування, як правило, необхiдно провести аналiтичне дослiдження
задачi.

Зрозумiло, що x ⁄= -1, x ⁄= 1 - a. Тодi з рiвняння (3) дiстаємо

або x2 + x(a - 3) - 4a - 4 = 0.

За теоремою Вiєта

З обмежень, накладених на змiнну x, випливає, що

Перша та четверта умови очевиднi. Тому розглянемо докладнiше решту умов.
З нерiвностi x1 ⁄= 1 -a дiстаємо, що a ⁄= -3. Тобто для a = -3 значення x1 = 4 не
є коренем заданого рiвняння (у цьому випадку коренем буде x2 = 2) (рис. 12).
Третя нерiвнiсть x2 ⁄= -1 рiвносильна a ⁄= 0. Тому для a = 0 коренем рiвняння
буде x1 = 4 (рис. 13).

Таким чином, якщо a = -3, то x = 2 (рис. 12), якщо a = 0, то x = 4 (рис. 13),
якщо ж a ⁄= -3 i a ⁄= 0, то x = 4 або x = -a - 1 (рис. 10).

Отже, запропонована ранiше гiпотеза про кiлькiсть коренiв рiвняння (3)
частково пiдтвердилась.

На рисунках 10–12 значення параметра вiдповiдно дорiвнює 0,4; -5 та -3.
Зазначимо, що добiр значення параметра також можна здiйснювати за
допомогою бiгунка. При цьому один i той же малюнок може мiстити
зображення графiкiв функцiй, якi вiдповiдають рiзним фiксованим значенням
параметра.

Як вiдомо, iснує дещо iнший пiдхiд до побудови геометричної iнтерпретацiї
задачi (3). А саме, потрiбно знайти точки перетину графiка функцiї

для рiзних значень параметра a з вiссю абсцис. Зрозумiло, що розв’язуваня
такої задачi з використанням вiдповiдних програмних засобiв за складнiстю
аналогiчне до наведеного вище. На рис. 14 побудовано графiк функцiї h(x) за
умови, що a = 0,4. У цьому випадку графiк функцiї h(x) перетинає вiсь абсцис у
двох точках, тобто рiвняння (3) має два розв’язки.

Рис. 14:

Рис. 15:

Зазначимо, що використання вказаного пiдходу до розв’язування задач з
параметрами може призвести до бiльш адекватної геометричної iнтерпретацiї
задачi. Так, для a = -5 графiк функцiї h(x) в точцi з абсцисою x = 4
дотикається до осi абсцис (рис. 15).

Це означає, що

тобто рiвняння

а тому i рiвняння (3) має два однаковi коренi x = 4. Справдi, за побудовою

Знайти кiлькiсть коренiв рiвняння

(4)

У даному випадку для графiчних iлюстрацiй використовуємо програмний
засiб GeoGebra. Побудуємо графiки функцiй f(x) = ax та g(x) = log ax для
конкретних значень параметра a. Збiльшуючи значення параметра a вiд 0 з
кроком 0.1 приходимо до висновку – якщо параметр a набуває значень вiд 0.1 до
0.9, то рiвняння (4) має один корiнь, вiд 1.1 до 1.4 – рiвняння (4) має два коренi, i
нарештi, якщо значення параметра бiльше 1.4, то рiвняння (4) коренiв не
має.

Зрозумiло, що використання лише графiчного способу розв’язання рiвняння
(4) не дозволяє не лише зробити правильний висновок про кiлькiсть коренiв
рiвняння для a ∈ (0;1) ∪ (1;∞), але й не дозволяє висловити адекватну
гiпотезу про довжину промiжкiв змiни параметра a, де рiвняння (4) має
однакову кiлькiсть коренiв. I ситуацiю не покращує суттєве зменшення кроку
змiни параметра a, оскiльки значення параметра, при переходi через якi
вiдбувається змiна кiлькостi коренiв рiвняння (4) є трансцендентими
числами.

Тому неохiдним є аналiтичне дослiдження задачi.

За умовою задачi x ∈ (0;∞) та a ∈ (0;1) ∪ (1;∞). Нехай спочатку a ∈ (1;∞).
Знайдемо точку дотику A графiкiв функцiй y = ax та y = log ax. Зрозумiло, що
абсциса точки дотику буде розв’язком рiвняння (4). Оскiльки зазначенi функцiї є
взаємнооберненими, то їх графiки симетричнi вiдносно прямої y = x. Враховуючи
строгу монотоннiсть функцiй y = ax та y = log ax i незмiннiсть типу
опуклостi їх графiкiв приходимо до висновку, що якщо точка дотику графiкiв
цих функцiй iснує, то вона є єдиною i мiститься на прямiй y = x (рис.
16).

Рис. 16:

Як вiдомо, координати точки дотику графiкiв функцiй y = φ(x) та y = ψ(x)
задовольняють систему рiвнянь

яка у нашому випадку набуде вигляду

Звiдси дiстаємо a = , A(e,e).

Припустимо, що a > . Тодi графiки функцiй y = ax та y = x не
перетинаються, тобто рiвняння (4) не має розв’язкiв (рис. 17).

Рис. 17:

Справдi, позначимо через h(x) = ax - x, x ≥ 0. Тодi

i x = - є стацiонарною точкою функцiї h(x). Оскiльки

то x = - точка мiнiмума функцiї h(x).

Враховуючи, що

i

то h(x) > 0, x ≥ 0, тобто ax > x, x ≥ 0.

Нехай тепер 1 < a < . Тодi рiвняння (4) має два розв’язки.

Рис. 18:

Справдi, визначаючи як i ранiше функцiю h(x), дiстаємо

Оскiльки точок перегину графiки функцiй y = ax та y = log ax не мають, то
згiдно теореми Больцано-Кошi, вони перетинаються у двох точках, якi до того ж
мiстяться на прямiй y = x (рис. 18).

Нехай 0 < a < 1. Позначимо через l(x) = log ax - ax, a ∈ [a0;1), де a0 буде
визначено нижче. Дослiдимо функцiю l(x) на монотоннiсть:

Значення a0 пiдберемо так, щоб l′(x) ≤ 0, x ∈ (0;∞). Оскiльки xlna < 0,
x ∈ (0;∞), a ∈ (0;1), то l′(x) ≤ 0, x ∈ (0;∞), тодi i тiльки тодi, коли

Пiдберемо a0 так, щоб

Позначимо через m(x) = xax ln2a, x ∈ (0;∞) i дослiдимо m(x) на екстремум.
Обчислюючи

переконуємось, що стацiонарна точка x = - функцiї m(x) є точкою
максимуму.

Оскiльки

i

то a0 = .

Таким чином, l′(x) ≤ 0, x ∈ (0;∞), i точки, де l′(x) = 0 не утворюють вiдрiзка.
Тому функцiя l(x), x ∈ (0;∞), a ∈ є спадною. Отже, рiвняння (4) має
один розв’язок (рис. 19).

Рис. 19:

Нехай нарештi a ∈. У цьому випадку рiвняння (4) має три розв’язки
(рис. 20).

Рис. 20:

Справдi, графiки функцiй y = ax та y = log ax перетинаються в деякiй точцi
прямої y = x. Позначимо абсцису цiєї точки через x0. Зрозумiло, що x = x0 є
розв’язком рiвняння (4). Розглянемо iнтервал (0;x0). Зазначимо, що
l(x) = +∞. Визначимо знак числа l(x0 - ε), де ε – достатньо мала додатна
стала.

оскiльки нерiвнiсть

(5)

є правильною для всiх a ∈. Справдi, нерiвнiсть (5) рiвносильна
нерiвностi

або

тобто x0 ∈∪ (e;∞).

Оскiльки x = є розв’язком рiвняння

то розв’язок рiвняння

менший за , якщо 0 < a < . А тому x0 ∈, тобто нерiвнiсть (5)
правильна.

Таким чином, згiдно теореми Больцано-Кошi рiвняння (4) в iнтервалi (0;x0)
має розв’язок. Iз мiркувань симетрiї, враховуючи незмiннiсть типу опуклостi
графiкiв функцiй y = ax та y = log ax, випливає, що для a ∈ рiвняння (4)
має три розв’язки.

Пiдсумовуючи проведений аналiз приходимо до висновку. Рiвняння (4) має
три розв’язки, якщо a ∈, два розв’язки, якщо a ∈, один розв’язок,
якщо a ∈∪ i не має розв’язкiв, якщо a ∈.

Системи комп’терної математики можна використовувати для якiсного
аналiзу задач з параметрами. Розглянемо наступну задачу.

Знайти значення параметрiв a та b, для яких рiвняння

(6)

має два розв’язки.

Зрозумiло, що розкладаючи функцiю y = sinx в ряд Маклорена

який збiгається в iнтервалi (-∞;+∞), рiвняння (6) можна записати
наступним чином

(7)

Для наближеного розв’язання рiвняння (7) розглядаємо рiвняння
вигляду

(8)

де вже вираз в лiвiй його частинi є многочленом. Значення номера p
визначається заданою точнiстю. Рiвняння (8) мiстить многочлен непарного
степеня з дiйсними коефiцiєнтами. Тому воно має непарну кiлькiсть дiйсних
коренiв. Тобто, на перший погляд, задача 5 не має розв’язку.

Для бiльш детального якiсного аналiзу задачi 5 скористаємось програмним
засобом GRAN1. Рiвняння (6) матиме два розв’язки, якщо графiки функцiй
y = sinx та y = ax + b перетинатимуться у двох точках. Зрозумiло, що одна з цих
точок є точкою дотику графiкiв цих функцiй (рис. 21).

Рис. 21:

У програмi GRAN1 є можливiсть побудови дотичної до кривої в заданiй
точцi. При цьому абсцису точки дотику можна вважати параметром.
Поступова змiна значення параметра призводить до змiни положення
дотичної. Таким чином можна вiзуально визначати кiлькiсть коренiв
рiвняння (6). Отже, за яких значень параметрiв a та b рiвняння (6) має два
розв’язки?

Нехай в точцi з абсцисою x1 графiки функцiй y = sinx та y = ax + b
дотикаються. Припускатимемо також, що a < 0 i x1 < - (рис. 22).

Рис. 22:

Оскiльки

то, використовуючи основну тригонометричну тотожнiсть, дiстаємо

Таким чином,

(9)

Зазначимо, що правильне i обернене твердження. А саме, з виконання умови
(9) випливає, що в точцi з абсцисою

графiки функцiй y = sinx та y = ax + b дотикаються.

За побудовою iснує таке n ∈ Z, що

(10)

Тодi, при виконаннi умови (9) рiвняння (6) в iнтервалi має два
розв’язки.

Нехай тепер x1 > - (рис. 23).

Рис. 23:

Тодi якщо

(11)

то рiвняння (6) в iнтервалi , де n ∈ Z визначається з
нерiвностей

(12)

має два розв’язки. При цьому абсциса точки дотику

Випадок a > 0 розглядається аналогiчно. Нехай x1 > -. Тодi якщо
виконується умова (9) то рiвняння (6) в iнтервалi , де n ∈ Z
визначається з нерiвностей (10), має два розв’язки.

Якщо ж x1 < -, то при виконаннi умови (11) рiвняння (6) в iнтервалi
, де n ∈ Z визначається з нерiвностей (12), також має два
розв’язки.

Зазначимо, що отриманi результати про iснування двох розв’язкiв рiвняння
(6) або рiвносильного до нього рiвняння (7) жодним чином не суперечать тому,
що рiвняння (8) парної кiлькостi дiйсних розв’язкiв не має. Рiвняння (6) на
вiдмiну вiд (8) є трансцендентним i властивостi функцiї y = sinx (обмеженiсть,
монотоннiсть, опуклiсть) суттєво вiдрiзняються вiд вiдповiдних властивостей
многочлена ∑
k=1p.

3 Результати дослiдження

Пiдсумовуючи результати розгляду вiдповiдних задач, вкажемо функцiї
програмних засобiв, використання яких значно спрощує процес розв’язування
задач з параметрами.

Для графiчного аналiзу властивостей розв’язкiв задач з параметрами, як
правило, необхiдно побудувати графiки вiдповiдних функцiй. При цьому досить
часто умови задач формулюються так, що записати вiдповiдну функцiю в
явному виглядi або недоцiльно з огляду на її громiздкий аналiтичний вираз, або
взагалi неможливо. Бiльше того, навiть у випадку, коли можливе явне задання
функцiї, часто зручнiше використовувати її неявне задання, наприклад, за
умови, що вiдповiдна функцiя є суперпозицiєю великої кiлькостi функцiй i, як
наслiдок, побудова її графiку за допомогою перетворень графiкiв основних
елементарних функцiй є недостатньо наочною. Тому необхiдно мати можливiсть
побудувати графiк неявно заданої функцiї.

У задачах з параметрами форма графiка функцiї може змiнюватися при
кожнiй змiнi значення параметра, тому повинна бути можливiсть побудови
графiка функцiї для рiзних значень параметра. Є задачi, в яких властивостi
функцiї змiнюються при досить невеликих змiнах параметра, а в iнших – це
вiдбувається при значних змiнах значень параметра. Змiна кроку змiни
параметра є зручною функцiєю програм, що використовуються в процесi
розв’язування таких задач. Для бiльш точного визначення iнтервалiв змiни
властивостей функцiї при рiзних значеннях параметрiв можна також
використовувати змiну масштабу координатних осей, i це наступна функцiя, яку
повинна мати програма, що використовується в процесi розв’язування задач з
параметрами.

Часто для визначення кореня рiвняння необхiдно побудувати дотичну або
нормаль до графiка функцiї в заданiй точцi або знайти точку перетину кривих.
Зрозумiло, що здебiльшого це можна зробити аналiтично, використовуючи
вiдповiднi математичнi iнструменти. Водночас, якщо мова йде про оцiнку
iнтервалу змiни значення параметра, на якому вiдповiдне рiвняння має певну
кiлькiсть коренiв, або про наближене значення кореня, то зручно, коли за

допомогою програмного забезпечення можна виконувати вiдповiднi конструкцiї в
автоматичному режимi.

Зазначимо, що розглянутi функцiї програм реалiзуються без додаткового
створення програмних кодiв у системах комп’ютерної математики.

У таблицi 1 висвiтлено наявнiсть програмних функцiй деяких СКМ, якi, на
нашу думку, необхiднi для графiчного аналiзу розв’язування задач з
параметрами.

Табл. 1: Функцiї програм для графiчного аналiзу розв’язування задач з
параметрами.

Функцiї
програм

GRAN1

GeoGebra

Wolfram∣Alpha

SageMath

Maxima

Побудова графiка функцiї заданої в явному виглядi

+

+

+

+

+

Побудова графiка функцiї заданої в неявному виглядi

+

+

+

–

+

Використання параметра в аналiтичному записi функцiї

+

+

–

–

+

Автоматична змiна графiка функцiї в залежностi вiд значення
параметра

+

+

–

–

+

Побудова дотичної до кривої в точцi

+

+

+

–

–

Побудова нормалi до кривої в точцi

+

+

+

–

–

Можливiсть змiни кроку змiни параметра

+

+

–

–

+

Визначення координат перетину графiкiв кривих

+

+

+

–

–

Знаходження аналiтичного розв’язку

–

–

+

+

+

Таким чином, iз перелiчених програмних засобiв для розв’язування
задач з параметрами доцiльно використовувати, перш за все, GRAN1
та GeoGebra. Для аналiтичного розв’язання можна використовувати
Wolfram∣Alpha, SageMath, Maxima, але при цьому отриманi вiдповiдi не завжди
коректнi.

4 Висновки

При розв’язуваннi рiвнянь, нерiвностей та їх систем часто виникає необхiднiсть
побудувати графiки вiдповiдних функцiй. У разi неявного або параметричного
задання функцiй процес побудови їх графiкiв досить складний. Завдання стає ще
бiльш громiздким, якщо воно мiстить параметр. Тому цi проблеми часто
намагаються розв’язати за допомогою рiзних програмних засобiв.

У данiй працi обґрунтовується доцiльнiсть використання систем комп’ютерної
математики для розв’язування задач з параметрами. Проаналiзовано такi вiльно
поширюванi програми, як GeoGebra, Wolfram∣Alpha, SageMath, Maxima та
Gran1. Розроблено критерiї вибору програмного забезпечення та проведено
порiвняльний аналiз зазначених програмних засобiв для розв’язування задач з
параметрами, згiдно з яким можна рекомендувати використовувати,
насамперед, GRAN1 i GeoGebra. У програмi GRAN1 є можливiсть запису
формули функцiї iз позначенням параметрiв через змiннi p1, p2, ..., p10. При
цьому змiна параметра може вiдбуватись, як за допомогою присвоєння
йому певного значення, так i за допомогою бiгунка. У процесi змiни
значень параметра вiдбувається автоматична побудова графiка функцiї з
врахуванням оновлених значень параметра. Аналогiчнi функцiї притаманнi
програмi GeoGebra. Лише потрiбно визначити змiннi через якi позначаються
параметри.

Використовуючи автоматичну змiну форми графiка за рiзних значень
параметра, змiну кроку змiни значення параметра, змiну масштабу для перегляду
графiку функцiї або його фрагменту, автоматичне визначення координат точки
перетину графiкiв функцiй у роботi встановлено умови сумiсностi геометричного
характеру iлюстративних задач з параметром та наведено їх аналiтичнi
розв’язки. При цьому для геометричної пiдтримки процесу розв’язування
вказаних задач, як вже зазначалось вище, використовувались системи
комп’ютерної математики GRAN1 i GeoGebra. Зазначенi програмнi засоби є
однаково зручними для застосування в процесi розв’язування задач з
параметрами.

Для отримання повної правильної вiдповiдi необхiдно проаналiзувати
аналiтичнi та графiчнi розв’язки задачi, отриманi за допомогою систем
комп’ютерної математики. Результати аналiзу побудованих графiкiв функцiй
можуть бути джерелом припущень щодо результатiв розв’язання задачi. I
навпаки, геометричну iнтерпретацiю задачi часто можна використовувати як
критерiй правильностi її аналiтичного розв’язання. Незважаючи на те, що для

iлюстративних задач зазвичай можна доволi просто знайти аналiтичнi розв’язки,
все ж доцiльно дати геометричну iнтерпретацiю задачi та проаналiзувати
отриманi результати, що пiдтверджується прикладами, розглянутими в цiй
працi.

На пiдтвердження наших мiркувань i висновкiв можна навести слова
розробникiв Wolfram∣Alpha. Автори вважають, що мета домашнього завдання
учнiв полягає не в тому, щоб навчитися виконувати обчислення, а в тому, щоб
навчитися знаходити i розумiти вiдповiдь задачi, незалежно вiд того, як
виконуються обчислення. Не можна очiкувати, що в сучасному технологiчно
насиченому свiтi учнi зможуть вiдразу застосувати достатнi знання з
математики в практичних задачах новiтнiх важливих для суспiльства галузей
науки i технiки. Але знання того, як сформулювати запит i провести
аналiз для отримання правильної вiдповiдi за допомогою комп’ютера,
допоможе зрозумiти i використовувати математику. Якщо учнi роблять це, за
словами розробникiв WolframApha, вони просто попереду в навчаннi
[4].

References

[1]    Maxima, a Computer Algebra System (November 2023), URL
https://maxima.sourceforge.io

[2]    SageMath - Open-Source Mathematical Software System (November
2024), URL https://www.sagemath.org/

[3]    Bhagat, K.K., Chang, C.Y.: Incorporating
GeoGebra into Geometry learning-A lesson from India. Eurasia Journal of
Mathematics, Science and Technology Education 11, 77–86 (2015), URL
https://doi.org/10.12973/eurasia.2015.1307a

[4]    Biddle, P.: AI Is Making It Extremely
Easy for Students to Cheat (2017), URL
https://www.wired.com/story/ai-is-making-it-extremely-easy-for-students-to-cheat/

[5]    Botuzova, Y.V.: Parametric tasks in the context of STEM-education.
In: Tarasenkova, N. (ed.) Problems of mathematics education:
materials of the international scientific and methodological

conference, pp. 237–238, Gordijenko, Cherkasy (2019), URL
https://dspace.cusu.edu.ua/server/api/core/bitstreams/b284c082-d0ce-4098-918d-3d89045b4bbe/content

[6]    Bo&zcaron;i&cacute;, R., Taka&ccaron;i, Đ., Stankov,
G.: Influence of dynamic software environment on students’ achievement
of learning functions with parameters. Interactive Learning Environments
29, 655–669 (2021), https://doi.org/10.1080/10494820.2019.1602842, URL
https://doi.org/10.1080/10494820.2019.1602842

[7]    Fuchs, K.J.: Computer
algebra systems in mathematics education. Zentralblatt f¨ur Didaktik der
Mathematik 35, 20–23 (Feb 2003), https://doi.org/10.1007/BF02652762,
URL https://doi.org/10.1007/BF02652762

[8]    Gonda, D.: Analysis of the causes of low achievement levels in solving
problems
with parameter. European Journal of Education Studies 4, 339–354 (2018),
URL https://oapub.org/edu/index.php/ejes/article/view/1558

[9]    Gonda, D., Tirpakova, A.: A new teaching method aimed at
eliminating the causes of students’ unsuccessful algorithmic problem
solving with parameter. Problems of Education in the 21st Century
76, 499–519 (Aug 2018), https://doi.org/10.33225/pec/18.76.499, URL
https://doi.org/10.33225/pec/18.76.499

[10]    Gornshteyn, P.I., Polonskyi, V.B., Yakir, M.S.: Tasks with parameters.
Tekst, Kyiv (1992), URL https://www.at.alleng.org/d/math/math269.htm

[11]    Hašek, R.: Dynamic Geometry Software Supplemented with a Computer
Algebra System as a Proving Tool. Mathematics in Computer Science
13(1), 95–104 (Jun 2019), https://doi.org/10.1007/s11786-018-0369-x,
URL https://doi.org/10.1007/s11786-018-0369-x

[12]    Hohenwarter,
M., Fuchs, K.: Combination of dynamic geometry, algebra and calculus in
the software system GeoGebra. In: Computer algebra systems and dynamic
geometry systems in mathematics teaching conference, pp. 1–6 (2004), URL
https://www.researchgate.net/publication/228398347

[13]    Horoshko, Y., Pidhorna, T., Samusenko, P., Tsybko, H.: Computer
Mathematics Systems and Tasks with Parameters. In: Proceedings of
the 2nd Myroslav I. Zhaldak Symposium on Advances in Educational
Technology, pp. 768–780, SCITEPRESS - Science and Technology
Publications (2023), https://doi.org/10.5220/0012067700003431, URL
https://doi.org/10.5220/0012067700003431

[14]    Horoshko, Y.V., Pokryshen, D.A.: Wolfram∣alpha
knowledge system. Scientific journal of National Pedagogical Dragomanov
University. Computer-based learning systems 13(20), 96–101 (2012), URL
https://sj.udu.edu.ua/index.php/kosn/article/view/326

[15]    İlhan, E.: Introducing parameters of a linear function at
undergraduate level: use of geogebra. Mevlana International
Journal of Education (MIJE) 3, 77–84 (2013), URL
http://web.archive.org/web/20140308041226/http://mije.mevlana.edu.tr/archieve/issue_3_3/8_mije_si_2013_08_volume_3_issue_3_page_77_84_PDF.pdf

[16]    Kobylnyk, T., Kohut, U.P., Vynnytska, N.: CAS MAXIMA as a tool
for forming research skills in the process of pre-service informatics teachers
training. Information Technologies and Learning Tools 80, 58–74 (2020),
URL https://doi.org/10.33407/itlt.v80i6.3801

[17]    Kramarenko, T.H.: Some methodical aspects of solving tasks with
parameters. Scientific journal of National Pedagogical Dragomanov
University. Computer-based learning systems 2(9), 170–177 (2005), URL
https://sj.udu.edu.ua/index.php/kosn/article/view/721

[18]    Kramarenko, T.H., Korolskyi, V.V., Semerikov, S.O., Shokaliuk, S.V.:
Innovative information and communication technologies for teaching
mathematics. Kryvyi Rih State Pedagogical University, Kryvyi Rih, 2 edn.
(2019), URL https://doi.org/10.31812/123456789/3315

[19]    Kuzmina, N.M., Samusenko, P.F., Kuzmin, A.V.: About some
aspects of the organization of students individual work at pedagogical
universities in the process of teaching classical optimization methods.
Journal of Physics: Conference Series 2288, 012009 (2022), URL
https://doi.org/10.1088/1742-6596/2288/1/012009

[20]    Pokryshen,
D.A.: Learning information technologies when solving mathematical tasks
with parameters. Scientific journal of National Pedagogical Dragomanov
University. Computer-based learning systems 5(12), 136–141 (2007), URL
https://sj.udu.edu.ua/index.php/kosn/article/view/616

[21]    Prus, A.V., Shvets, V.O.:
Tasks with parameters in the school mathematics course. Ruta, Zhytomyr
(2016), URL http://eprints.zu.edu.ua/20630/

[22]    Watson, A., Chick, H.: Qualities of examples in learning and teaching.
ZDM
43(2), 283–294 (May 2011), https://doi.org/10.1007/s11858-010-0301-6,
URL https://doi.org/10.1007/s11858-010-0301-6

[23]    Wolfram Alpha LLC: Wolfram∣Alpha: Computational Intelligence
(November 2024), URL https://www.wolframalpha.com/

[24]    Yohannes, A., Chen, H.L.: GeoGebra in mathematics education:
a systematic review of journal articles published from 2010 to
2020. Interactive Learning Environments 31, 5682–5697 (2023), URL
https://doi.org/10.1080/10494820.2021.2016861

[25]    Zakirova, V.G., Zelenina,
N.A., Smirnova, L.M., Kalugina, O.A.: Methodology of Teaching Graphic
Methods for Solving Problems with Parameters as a Means to Achieve
High Mathematics Learning Outcomes at School. EURASIA Journal of
Mathematics, Science and Technology Education 15, em1741 (2019), URL
https://doi.org/10.29333/ejmste/108451

[26]    Zhaldak, A.V.: Computerized analysis of functions and equations
with parameters. Scientific journal of National Pedagogical Dragomanov
University. Computer-based learning systems 18(25), 111–124 (2016), URL
https://enpuir.npu.edu.ua/handle/123456789/18933

[27]    Zhaldak, M.I.,
Franchuk, V.M., Franchuk, N.P.: Some applications of cloud technologies
in mathematical calculations. Journal of Physics: Conference Series 1840,

012001 (mar 2021), https://doi.org/10.1088/1742-6596/1840/1/012001,
URL https://doi.org/10.1088/1742-6596/1840/1/012001

[28]    Zhaldak, M.I., Morze, N.V., Ramskyi, Y.S., V., H.Y., Tsybko,
H.Y., Vinnychenko, Y.F., Kostyuchenko, A.O.: In memory of Andrii
Viktorovych Penkov. Scientific journal of National Pedagogical Dragomanov
University. Computer-based learning systems 18(25), 170–173 (2016), URL
http://nbuv.gov.ua/UJRN/Nchnpu_2_2016_18_27

Copyright (c) 2024 Petro F. Samusenko, Yurii V. Horoshko, Tetiana V. Pidhorna, Hanna Y. Tsybko, Ihor A. Tverdokhlib

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

issn

ISSN 2708-4604 (print)
ISSN 2708-4612 (online)

openaccess

doaj

Make a Submission

Make a Submission

Keywords

acns

ACNS Journals Ring

Educational Technology Quarterly

Science Education Quarterly

CTE Workshop Proceedings

Educational Dimension

Journal of Edge Computing

Actual Problems of Mind

ACNS Conference Series: Social Sciences and Humanities

publisher

Latest publications

counter

This journal is published by the Academy of Cognitive and Natural Sciences (ACNS) and distributed under the terms of the Creative Commons License Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).